微纳谐振器模态耦合系数的形状优化方法及其在MEMS陀螺仪中的应用
2025-04-03 21:07:13 来源：麦姆斯咨询 评论：0 点击：
这项研究开发了一种基于节点的几何非线性3-wave耦合系数形状优化架构，并将其应用于MEMS陀螺仪的设计。结果表明，通过所提出的方法，3-wave耦合系数可以增强或降低几个数量级，同时满足可制造性约束和本征频率约束。
微机电系统（MEMS）和纳机电系统（NEMS）谐振器通常以高品质因数在大振幅下工作，并具有各种非线性模态耦合的高模态密度，因此可以表现出丰富的非线性动力学行为。这些效应受内部谐振条件以及模态耦合系数强度的显著影响。一方面，强非线性耦合引起了学术界的兴趣，并有望带来新的器件概念；另一方面，它们有可能干扰基于线性系统行为的工业器件（例如MEMS陀螺仪和MEMS微镜）的正常工作。无论哪种情况，通过设计优化耦合系数无疑都是有益的。非线性模态耦合的一个主要来源是几何非线性。
据麦姆斯咨询报道，近日，罗伯特·博世（Robert Bosch）和慕尼黑工业大学（Technical University of Munich）的研究人员组成的团队提出了一种基于节点的形状优化方法，用于调整MEMS陀螺仪的几何非线性3-wave模态耦合系数。结果表明，通过形状优化，单个耦合系数可以在几个数量级范围内进行调整，同时满足器件在可制造性和可操作性方面的典型约束。优化后的设计包含了一些直觉上难以预见的几何特征，远超经验丰富的MEMS或NEMS设计师可能想到的方案。因此，该工作展示了形状优化方法在定制MEMS和NEMS谐振器的复杂非线性动力学特性方面的强大作用。上述研究成果以“Shape optimization of geometrically nonlinear modal coupling coefficients: an application to MEMS gyroscopes”为题发表于Scientific Reports期刊。
模态耦合系数的形状优化
研究人员概述了所采用的形状优化方法，特别关注特征向量相关函数的灵敏度分析，例如3-wave耦合系数。为此，引入了伴随法（Adjoint Method）。
研究人员将基于节点的形状优化应用于沿z方向挤出的几何体。为此，引入了参数pj，该参数使几何体的外部节点沿着xy平面中的曲面法线移动。设计参数被收集在一个向量p中。为了避免优化设计中的突变，这些参数被定义为也以线性衰减的方式拖动相邻节点。本质上，每个参数pj对应于几何体的一个外部节点。增大pj的值将使相应的节点以及一些相邻的节点沿xy平面中几何体的曲面法线移动。通过这种方式，挤出几何体的形状可以以参数化的方式变化，并且可以解析地计算出相对于这种形状变化的梯度。
优化问题通常是非线性的，需要迭代求解过程。目的是找到参数集P，该参数集修改几何体的形状以满足所有指定的约束。因此，优化循环从对当前设计进行模态分析开始。随后，对目标函数和约束进行评估，并计算其相对于设计参数的灵敏度。然后，采用移动渐近线（MMA）的方法来解决非线性优化问题，并提供一组更新后的设计参数。最后，将这些设计参数应用于调整节点坐标的位置，从而获得更新后的设计。重复这些步骤，直至所有约束均得到满足。
形状优化方法应用于MEMS陀螺仪
研究人员以MEMS陀螺仪为例演示其提出的优化方法。
MEMS陀螺仪模型
图1描绘了MEMS陀螺仪初始设计的俯视图。研究人员假设整个机械结构由线性各向同性多晶硅构成。该设计在xy平面上表现出四分之一的对称性。在图1中，衬底锚固件以蓝色表示，弹簧结构以绿色表示，梳状驱动电极以橙色表示。图2显示了与初始设计相关的几个本征模态。
图1 单轴MEMS陀螺仪初始设计的俯视图
图2 MEMS陀螺仪初始设计的模态
优化策略
通过两种不同的优化策略展示几何非线性3-wave耦合系数的形状优化。两种优化均将在图1所示的MEMS陀螺仪上进行，研究人员将基于节点的形状优化方法应用于陀螺仪的弹簧结构部分。第一种优化策略的目标是将驱动模态与两个寄生模态之间的两种几何非线性3-wave耦合降低1000倍。与第一种优化相反，第二种优化策略将展示几何非线性3-wave效应的增强。研究人员将强制执行1:2内部谐振，并将相应的耦合系数提高250倍。
图3 优化过程中优化的3-wave耦合系数的历史
图4 根据第一种策略优化的MEMS陀螺仪的四分之一模型
图5 根据第二种策略优化的MEMS陀螺仪的四分之一模型
与增强初始较小的3-wave耦合系数相比，降低初始较大的3-wave耦合系数所需的迭代次数和设计更改更少。在这两种优化中，研究人员发现了一些直观上难以预见的设计变更，这些变更对优化后的3-wave耦合系数产生了显著影响。这证实了基于梯度的形状优化在调整几何非线性模态耦合方面的有用性，无需手动调整拓扑结构。
为了研究优化设计对制造公差的敏感性，研究人员还计算了初始设计和优化设计在膨胀和腐蚀几何体下的耦合系数。
图6 初始和优化设计中3-wave耦合系数对工艺变化的依赖性
小结
综上所述，这项研究开发了一种基于节点的几何非线性3-wave耦合系数形状优化架构，并将其应用于MEMS陀螺仪的设计。结果表明，通过所提出的方法，3-wave耦合系数可以增强或降低几个数量级，同时满足可制造性约束和本征频率约束。平面内、平面外和扭转模态之间的3-wave耦合系数可以通过非常细微的设计改动降低3个数量级。导致平面内和平面外模态之间1:2内部谐振的3-wave耦合系数可以增强250倍，同时满足相应的谐振条件。此外，即使存在制造误差，优化后的耦合系数仍比初始值小或大两个数量级左右。研究结果凸显了形状优化作为一种强大设计工具的价值，既适用于利用非线性效应的MEMS和NEMS谐振器应用，也适用于因非线性效应而产生寄生影响的应用。
论文链接：https://doi.org/10.1038/s41598-025-95412-0
延伸阅读：
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